Badając koncepcję macierzy, musimy zwrócić uwagę na jej korzenie historyczne. Chociaż uważana jest za stosunkowo nowoczesne narzędzie matematyczne, jej początki sięgają odległych czasów. Pierwsze ślady wykorzystania macierzy można odnaleźć już około 650 roku p.n.e. w chińskiej literaturze, gdzie pojawiały się tzw. kwadraty magiczne 3 × 3. Później, w VII wieku n.e., arabscy matematycy zaznajomili się z tą ideą podczas podboju północno-zachodnich części subkontynentu indyjskiego, przejmując zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej.
Jednakże właściwe pojęcie macierzy, bliskie współczesnemu rozumieniu, pojawiło się dopiero w 1858 roku w pracy Arthura Cayleya „Pamiętnik o teorii macierzy”. To właśnie James Joseph Sylvester ukuł termin „macierz”, rozumiejąc ją jako obiekt dostarczający wyznaczniki znane dziś jako minory.
Dlaczego macierze stały się tak istotne?
Macierze zostały wprowadzone głównie w celu uproszczenia rozwiązywania układów równań liniowych. W szkole średniej zajmowaliśmy się rozwiązywaniem układów dwóch lub trzech równań z odpowiednią liczbą niewiadomych. Jednak wraz ze wzrostem liczby równań i niewiadomych, proces rozwiązywania stawał się żmudny i podatny na błędy. Macierze okazały się przydatnym narzędziem do radzenia sobie z tego typu problemami, ponieważ rozmiar układu nie ma większego znaczenia podczas rozwiązywania z ich wykorzystaniem.
Formalna definicja macierzy
W języku matematycznym macierz definiowana jest jako funkcja przyporządkowująca liczby lub wyrażenia algebraiczne parom uporządkowanych indeksów. Precyzyjniej rzecz ujmując, niech m i n będą dodatnimi liczbami całkowitymi, a ⟨c⟩ oznacza zbiór liczb {1, …, c} kolejnych liczb całkowitych. Macierzą nazywamy funkcję:
A: ⟨m⟩ × ⟨n⟩ → X
gdzie ⟨m⟩ × ⟨n⟩ jest iloczynem kartezjańskim zbiorów ⟨m⟩ i ⟨n⟩, a X jest niepustym zbiorem, na który funkcja jest odwzorowana.
Parę uporządkowaną (m, n), oznaczaną zwykle symbolem m × n, nazywa się typem macierzy A. Argumenty (elementy dziedziny) funkcji A(i, j) nazywane są indeksami lub wskaźnikami, natomiast wartości (elementy obrazu) – współczynnikami, elementami lub wyrazami.
Notacja macierzowa
Zgodnie z konwencją, macierz A zapisywana jest w postaci:
A = [a_ij]
gdzie element a_ij jest wyrazem, współczynnikiem bądź elementem ogólnym macierzy. Pierwsza współrzędna i jest nazywana wierszem, a druga j – kolumną danego elementu.
Jeśli macierz ma tyle samo wierszy co kolumn, nazywana jest macierzą kwadratową. W przeciwnym przypadku określana jest mianem macierzy prostokątnej.
Operacje elementarne na macierzach
Na macierzach można wykonywać różnorodne operacje, z których najbardziej podstawowe to operacje elementarne. Obejmują one:
-
Zamianę miejscami dwóch wierszy macierzy
-
Pomnożenie jednego z wierszy przez liczbę różną od zera
-
Dodanie wiersza macierzy do innego jej wiersza
Te same operacje można również przeprowadzać na kolumnach macierzy.
Macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednej operacji elementarnej na jej wierszach (lub kolumnach) nazywana jest macierzą elementarną.
Sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej zredukowanej
Jednym z kluczowych celów operacji elementarnych jest sprowadzenie macierzy do tzw. postaci schodkowej zredukowanej. Ta forma macierzy umożliwia odczytanie rozwiązań układu równań liniowych, który macierz reprezentuje.
Proces sprowadzania macierzy do postaci schodkowej zredukowanej obejmuje następujące kroki:
-
Eliminacja wierszowa: Wykonywanie operacji elementarnych na wierszach macierzy w celu uzyskania zer poniżej pierwszego niezerowego elementu w każdej kolumnie.
-
Normalizacja: Podzielenie każdego wiersza przez jego pierwszy niezerowy element, aby uzyskać jedynki na głównej przekątnej.
-
Eliminacja wierszowa (ponownie): Kontynuowanie operacji elementarnych na wierszach w celu uzyskania zer powyżej każdej jedynki na głównej przekątnej.
Po przeprowadzeniu tych kroków, macierz przyjmuje postać schodkową zredukowaną, która dostarcza kluczowych informacji o rozwiązaniach układu równań liniowych.
